Выпуклый многоугольник называется правильным

Правильные многоугольники

Многоугольник — замкнутая ломаная линия. В школьной планиметрии изучают плоские линии, без самопересечений. Часть плоскости, ограниченная этой линией, также называется многоугольником. В этом смысле многоугольник имеет площадь. Многоугольник с n вершинами, а значит и с n сторонами, называется n-угольником.
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.

На этом рисунке

1 — простая (без самопересечений) ломаная линия, имеет 6 звеньев и 7 вершин;
2 — шестизвенная ломаная, имеющая одно самопересечение;
3 — выпуклый многоугольник, пятиугольник;
4 — невыпуклый многоугольник, десятиугольник.

Итак, слово «правильный» в условии задачи сразу говорит нам о том, что все стороны и все углы многоугольника одинаковые. Количество углов (вершин) и количество сторон определяем по названию многоугольника. Далее в формулах и задачах будем обозначать это количество символом n.


и так далее.

правильный пятиугольник.

Чтобы построить другие правильные многоугольники, задайте количество сторон n (от 3-ёх до 12-ти).

Многоугольники можно вписывать в окружность или описывать вокруг неё. Однако, это получается не для всех и не всегда. Говоря математическим языком, не всегда существует окружность, которая удовлетворяет определению.

Если многоугольник вписан в окружность, то можно сказать, что окружность описана около многоугольника, или, наобррот, если многоугольник описан около окружности, то окружность вписана в него. Такие формулировки тоже встречаются в условиях геометрических задач. Чтобы не путаться запомним — вписанная фигура находится внутри описанной около неё.

Четырехугольник вписан в окружность. Четырехугольник описан около окружности.

Рассмотрим другие примеры.

Произвольный прямоугольник всегда можно вписать в окружность, но описать нельзя. Описать получится только тогда, когда прямоугольник — это квадрат.

Параллелограмм нельзя вписать в окружность. Описать можно только ромб.

В окружность можно вписать только равнобочную трапецию, описать около окружности тоже можно не всякую трапецию.

Существование вписанной и описанной окружности для произвольных многоугольников связано с величинами их углов и сторон. Есть специальные теоремы, позволяющие определить будет ли многоугольник являться вписанным и/или описанным. Сейчас мы на них останавливаться не будем. Сейчас важно отметить следующее:

Треугольник вписан в зеленую окружность, описан вокруг синей. Пятиугольник вписан в зеленую окружность, описан вокруг синей.

Правильные многоугольники имеют центр, точнее совпадающие в одной точке центр симметрии, центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей. Если соединить с центром правильного n-угольника его вершины, то многоугольник разобьется на n равных равнобедренных треугольников.

Боковые стороны этих треугольников (на рисунке — зелёные отрезки) будут равны радиусу описанной окружности (R), а их основания (на рисунке — красные отрезки) равны стороне многоугольника (a).

Пользуясь таким чертежом, можно вычислять различные отрезки и углы в многоугольнике на основе знаний о равнобедренных треугольниках.
Например, угол AOB в пятиугольнике равен 360/5 = 72° (360° — полный круг). Угол OAB равен углу OBA и равен (180 − 72)/2 = 54°. Угол CAB = 2×54 = 108°. Сумма всех углов при вершинах пятиугольника 5×108 = 540°.

При решении задач на правильный многоугольник, часто бывает удобно дорисовать внешнюю (описанную) или внутреннюю (вписанную) окружность даже, если они не упоминаются в условии, и соединить вершины и точки касания с центром. Получатся равнобедренные или прямоугольные треугольники, о которых много известно, поэтому задачу будет решать легко.

Синие треугольники равнобедренные потому, что их боковые стороны это радиусы одной и той же окруюности. Оранжевые треугольники прямоугольные потому, что касательная к окружности перпендикулярна её радиусу.

На ОГЭ по математике в 9-ом классе и на ЕГЭ в 11-ом встречаются задачи с правильными многоугольниками, часто они включают в себя и вписанную или описанную окружность.

Задачи на правильные многоугольники

Внимание: задачи с решениями, но они временно скрыты. Сначала сделайте попытку решить задачу самостоятельно, и только после этого нажимайте кнопки «Посмотреть ответ» и «Посмотреть решение». Cовпадать обязан только ответ. Способ решения может отличаться.

Доказать, что площадь правильного n-угольника можно вычислить по формуле S = pr, где p — полупериметр многоугольника, r — радиус вписанной окружности.

Ответ: S = pr

Середины сторон правильного восьмиугольника ABCDEFGH последовательно соединили. Какую часть площади исходного многоугольника занимает получившийся многоугольник KLMNPQRS ?
Ответ дайте в процентах, округлив до целых.

Примечание: Отношение сторон многоугольников можно найти иначе, например, достроить другие внутренние отрезки и рассмотреть прямоугольные треугольники.

Ответ: 85

В круг вписан правильный шестиугольник ABCDEF. Найти площадь круга, если радиус окружности, вписанной в треугольник ADE, равен r.

Определим площадь треугольника ADE двумя способами:
через произведение катетов [S = frac<cdot> <2>= frac><2>cdotfrac<2>cdotfrac<1> <2>= frac><8>; ] и через полупериметр и заданный радиус вписанной окружности [S = frac<2>cdot r = frac<2>cdot big(frac><2>+frac<2>+ xbig) = frac + 3) > <4>]

Теперь можно составить уравнение и решить его относительно х.
[ frac> <8>= frac + 3)> <4>] [ frac> <2>= frac + 3)> <1>] [x = frac <2r(sqrt<3>+ 3)>> = 2r(1 + sqrt<3>)] Так как AD = x — диаметр окружности, то её площадь можно найти по формуле [S = frac <4>= frac )^2> <4>= pi r^2(1 +2 sqrt <3>+ 3) = pi r^2(4 + 2sqrt<3>) = 2pi r^2(2 + sqrt<3>)]

Ответ: r 2 (2 + √3 _ )

Найти отношение площади правильного двадцатичетырёхугольника, вписанного в некоторую окружность, к площади правильного двенадцатиугольника, вписанного в ту же окружность.

Читать еще:  Как правильно использовать масло для загара

Ответ: 4sin15° ≈ 1,04

Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF, в котором AC = 10,5. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF.

Примечание: Если Вы не догадались использовать свойство медиан треугольника, то можно рассматривать треугольники AOC, AOH и т.п., теорему косинусов или теорему Пифагора. Ответ будет получен с чуть большим объёмом вычислений.

Ответ: 7

Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 7. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников BOD, DOF и BOF.

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны.

Равносторонний треугольник и квадрат — примеры правильных многоугольников.

Угол, под которым сторона многоугольника видна из его центра, называется центральным углом многоугольника.

— центральный угол правильного пятиугольника

Свойства правильных многоугольников

  • Любой правильный многоугольник является вписанным в окружность

Радиус R описанной около правильного n-угольника окружности равен

где a — сторона n-угольника.

  • Любой правильный многоугольник является описанным около окружности.

Радиус r вписанной в правильный n-угольник окружности равен

    Сторону правильного n-угольника можно найти по формулам

  • Вписанная и описанная окружности правильного многоугольника имеют один и тот же центр — центр правильного многоугольника. Центр правильного многоугольника равноудалён от сторон многоугольника и равноудалён от вершин многоугольника.
  • Периметр правильного n-угольника равен

    Площадь любого правильного многоугольника равна

    где p — полупериметр многоугольника, r — радиус вписанной в него окружности.

  • Правильные n-угольники подобны между собой. (В частном случае, если стороны n-угольников равны, n-угольники равны).
  • У правильных n-угольников отношения сторон, периметров, радиусов вписанных окружностей и радиусов описанных окружностей равны:

    Площади правильных n-угольников относятся как квадраты их линейных размеров (например, как квадраты сторон):

    Каждый внутренний угол правильного n-угольника равен

    Каждый внешний угол правильного n-угольника равен

    Каждый центральный угол правильного n-угольника равен

    Многоугольники. Визуальный гид (2020)

    Важное замечание!
    Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

    Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять каких-либо точек и соединить их последовательно отрезками.

    • Точки — вершины многоугольника.
    • Отрезки – стороны многоугольника.

    При этом смежные стороны (имеющие общую вершину) не должны лежать на одной прямой, а несмежные стороны не должны иметь общих точек (то есть не должны пересекаться).

    Многоугольник с сторонами называют -угольником.

    Произвольные многоугольники

    Давай-ка нарисуем, какие бывают многоугольники.

    А теперь вопрос: какой из этих многоугольников выпадает из ряда?

    Посмотри внимательно на второй многоугольник — он по-существу отличается от всех остальных. Чем же? Он не выпуклый. Это конечно математическое название, но с человеческой интуицией не расходится.

    Ну вот, а мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники, то есть такие, как 1),3),4) и т.п.

    Итак, основной факт:

    Давай сразу к примерам:

    Четырехугольник

    Пятиугольник

    Шестиугольник

    Ах да, про треугольник забыли.

    Треугольник

    А теперь давай все-таки разберемся, откуда же взялась формула . Зачем? Понимаешь, приемчик, который мы сейчас применим, часто оказывается полезным при решении разных задач. Несмотря на то, что теорема о сумме углов многоугольника верна для всякого многоугольника, доказательство красивое и простое только для выпуклых многоугольников. Итак, давай разделим многоугольник на треугольники.

    Вот так: из одной точки проведем все диагонали, что можно. Сколько их будет? Считаем:

    Значит всего диагоналей . А на сколько треугольников распался наш многоугольник?

    Представь себе: на . Порисуй, посчитай – удостоверься, что треугольников оказывается ровно на один больше.

    Итак, у нас ровно треугольника. И сумма углов многоугольника просто равна сумме углов треугольников, на которые мы разбили многоугольник. Чему равна сумма углов треугольника? Помнишь? Конечно .

    Ну вот, треугольника, в каждом по , значит:

    Что же из этого может оказаться полезным? А вот что:

    1. Разделение на треугольники.
    2. Осознание того, что если провести какую-нибудь диагональ, то получится два новых многоугольника, сумма углов которых равна сумме углов большого многоугольника.

    Вот смотри, был -угольник:

    Получился пятиугольник и семиугольник . Сумма углов равна , а сумма углов равна . А вместе : — все сошлось! Ну и на этом о произвольных многоугольниках – хватит.

    Правильные многоугольники

    Так, например: квадрат – правильный четырехугольник, а вот прямоугольник – нет, хоть и все углы у него равные, и ромб – нет, хоть и все стороны равны. Нужно непременно, чтобы все углы и все стороны были равны.

    Первый вопрос:

    А можно ли найти величину одного (а значит и всех) угла правильного многоугольника?

    И ответ: можно!

    Давай посмотрим на примере.

    Пусть есть, скажем, правильный восьмиугольник:

    Значит любой угол, скажем можно найти:

    Что мы еще должны знать?

    При этом центры этих окружностей совпадают.

    Смотри как это выглядит!

    И более того, всегда можно посчитать соотношение между радиусом вписанной и описанной окружностей.

    Давай опять на примере восьмиугольника. Посмотри на . В нем

    Значит, — и это не только в восьмиугольнике!

    Чему же равен в нашем случае ?

    Ровно половине , представь себе!

    Значит . Смешно? Но так и есть! Поэтому для восьмиугольника .

    Может возникнуть еще один вопрос: а можно ли посчитать углы «около» точки ? И тот же ответ: конечно можно! Опять рассмотрим наш восьмиугольник. Вот мы хотим найти (то есть ).

    Мы знаем, что в сумма углов равна . Значит:

    И так можно все находить не только для восьмиугольника, но и для любого правильного многоугольника.

    МНОГОУГОЛЬНИКИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

    Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять каких-либо точек и соединить их последовательно отрезками.

    • Точки — вершины многоугольника.
    • Отрезки – стороны многоугольника.

    Многоугольник с сторонами называют -угольником .

    Например: многоугольник c сторонами называют четырехугольником , многоугольник с сторонами — шестиугольником и так далее по аналогии.

    • Выпуклый многоугольник — многоугольник лежащий по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины.

    Сумма внутренних углов выпуклого n -угольника равна или , где — внутренний угол многоугольника.

    Правильный выпуклый многоугольник — многоугольник все стороны и внутренние углы которого равны.

    Внутренний угол правильного -угольника равен .

    • Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

    Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и окружности, описанной около него, совпадают.

    Если многоугольник такой, что в него можно вписать окружность, то его площадь выражается формулой: , где .

    ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER

    Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:

    Комментарии

    Просто огромное спасибо. Хоть что-то начал понимать.

    Просто огромное пожалуйста. 🙂 Очень приятно слышать от вас такие слова.

    Примеры с решением пожалуйста скиньте

    Спасибо за примеры

    «Отрезки A1A2, A23, . AnA1 – стороны многоугольника». Вместо A23 должно быть A2A3.

    Добавьте к определению n-угольника: «Смежные стороны не должны лежать на одной прямой; несмежные стороны не должны иметь общих точек».

    Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

    Политика конфиденциальности

    Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

    Сбор и использование персональной информации

    Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

    От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

    Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

    Какую персональную информацию мы собираем:

    • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

    Как мы используем вашу персональную информацию:

    • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
    • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
    • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
    • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

    Раскрытие информации третьим лицам

    Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

    • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
    • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

    Защита персональной информации

    Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

    Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

    Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

    Спасибо за сообщение!

    Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

    2/3 статьи, а также разбор задач доступны только ученикам YouClever.

    Или оставьте Email и получите доступ к 5-ти статьям учебника бесплатно.

    Многоугольники

    На этом уроке мы приступим уже к новой теме и введем новое для нас понятие «многоугольник». Мы рассмотрим основные понятия, связанные с многоугольниками: стороны, вершины углы, выпуклость и невыпуклость. Затем докажем важнейшие факты, такие как теорема о сумме внутренних углов многоугольника, теорема о сумме внешних углов многоугольника. В итоге, мы вплотную подойдем к изучению частных случаев многоугольников, которые будут рассматриваться на дальнейших уроках.

    Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

    Тема: Четырехугольники

    Урок: Многоугольники

    1. Понятие «многоугольник»

    В курсе геометрии мы изучаем свойства геометрических фигур и уже рассмотрели простейшие из них: треугольники и окружности. При этом мы обсуждали и конкретные частные случаи этих фигур, такие как прямоугольные, равнобедренные и правильные треугольники. Теперь пришло время поговорить о более общих и сложных фигурах – многоугольниках.

    С частным случаем многоугольников мы уже знакомы – это треугольник (см. Рис. 1).

    Рис. 1. Треугольник

    В самом названии уже подчеркивается, что это фигура, у которой три угла. Следовательно, в многоугольнике их может быть много, т.е. больше, чем три. Например, изобразим пятиугольник (см. Рис. 2), т.е. фигуру с пятью углами.

    Рис. 2. Пятиугольник. Выпуклый многоугольник

    Определение.Многоугольник – фигура, состоящая из нескольких точек (больше двух) и соответствующего количества отрезков, которые их последовательно соединяют. Эти точки называются вершинами многоугольника, а отрезки – сторонами. При этом никакие две смежные стороны не лежат на одной прямой и никакие две несмежные стороны не пересекаются.

    Определение.Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

    Любой многоугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Внутреннюю область также относят к многоугольнику.

    Иными словами, например, когда говорят о пятиугольнике , имеют в виду и всю его внутреннюю область, и границу. А ко внутренней области относятся и все точки, которые лежат внутри многоугольника, т.е. точка тоже относится к пятиугольнику (см. Рис. 2).

    Многоугольники еще иногда называют n-угольниками, чтобы подчеркнуть, что рассматривается общий случай наличия какого-то неизвестного количества углов (n штук).

    Определение. Периметр многоугольника – сумма длин сторон многоугольника.

    Теперь надо познакомиться с видами многоугольников. Они делятся на выпуклые и невыпуклые. Например, многоугольник, изображенный на Рис. 2, является выпуклым, а на Рис. 3 невыпуклым.

    Рис. 3. Невыпуклый многоугольник

    2. Выпуклые и невыпуклые многоугольники

    Определение 1. Многоугольник называется выпуклым, если при проведении прямой через любую из его сторон весь многоугольник лежит только по одну сторону от этой прямой. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

    Легко представить, что при продлении любой стороны пятиугольника на Рис. 2 он весь окажется по одну сторону от этой прямой, т.е. он выпуклый. А вот при проведении прямой через в четырехугольнике на Рис. 3 мы уже видим, что она разделяет его на две части, т.е. он невыпуклый.

    Но существует и другое определение выпуклости многоугольника.

    Определение 2. Многоугольник называется выпуклым, если при выборе любых двух его внутренних точек и при соединении их отрезком все точки отрезка являются также внутренними точками многоугольника.

    Демонстрацию использования этого определения можно увидеть на примере построения отрезков на Рис. 2 и 3.

    Определение. Диагональю многоугольника называется любой отрезок, соединяющий две не соседние его вершины.

    3. Теорема о сумме внутренних углов выпуклого n-угольника

    Для описания свойств многоугольников существуют две важнейшие теоремы об их углах: теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника и теорема о сумме внешних углов выпуклого многоугольника. Рассмотрим их.

    Теорема. О сумме внутренних углов выпуклого многоугольника (n-угольника).

    , где – количество его углов (сторон).

    Доказательство 1. Изобразим на Рис. 4 выпуклый n-угольник.

    Рис. 4. Выпуклый n-угольник

    Из вершины проведем все возможные диагонали. Они делят n-угольник на треугольника, т.к. каждая из сторон многоугольника образует треугольник, кроме сторон, прилежащих к вершине . Легко видеть по рисунку, что сумма углов всех этих треугольников как раз будет равна сумме внутренних углов n-угольника. Поскольку сумма углов любого треугольника – , то сумма внутренних углов n-угольника:

    , что и требовалось доказать.

    Доказательство 2. Возможно и другое доказательство этой теоремы. Изобразим аналогичный n-угольник на Рис. 5 и соединим любую его внутреннюю точку со всеми вершинами.

    Мы получили разбиение n-угольника на n треугольников (сколько сторон, столько и треугольников). Сумма всех их углов равна сумме внутренних углов многоугольника и сумме углов при внутренней точке, а это угол . Имеем:

    , что и требовалось доказать.

    По доказанной теореме видно, что сумма углов n-угольника зависит от количества его сторон (от n). Например, в треугольнике , а сумма углов . В четырехугольнике , а сумма углов – и т.д.

    4. Теорема о сумме внешних углов выпуклого n-угольника

    Теорема. О сумме внешних углов выпуклого многоугольника (n-угольника).

    , где – количество его углов (сторон), а , …, – внешние углы.

    Доказательство. Изобразим выпуклый n-угольник на Рис. 6 и обозначим его внутренние и внешние углы.

    Рис. 6. Выпуклый n-угольник с обозначенными внешними углами

    Т.к. внешний угол связан со внутренним как смежные, то и аналогично для остальных внешних углов. Тогда:

    .

    В ходе преобразований мы воспользовались уже доказанной теоремой о сумме внутренних углов n-угольника .

    Из доказанной теоремы следует интересный факт, что сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна от количества его углов (сторон). Кстати, в отличие от суммы внутренних углов.

    Далее мы более подробно будем работать с частным случаем многоугольников – четырехугольниками. На следующем уроке мы познакомимся с такой фигурой, как параллелограмм, и обсудим его свойства.

    Список литературы

    1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
    2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
    3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

    Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

    Домашнее задание

    1. № 43, 42 (а, б, в, г, з), 46 (а, б), 47 (а,б). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
    2. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна: а) ; б) ; в) ?
    3. Найдите углы четырехугольника, если они пропорциональны числам 2, 3, 10 и 21. Выпуклый или невыпуклый этот четырехугольник?
    4. Вершины выпуклого пятиугольника соединены через одну. Найдите сумму углов при вершинах полученной «звезды».

    Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

    Читайте далее:
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector